Da die Mathematik in der Astronomie keine unwichtige Rolle spielt, aber bei vielen Hobbyastronomen das letzte Schuljahr schon eine ganze Weile zurückliegt, möchte ich hier einiges an Grundwissen zu mathematischen Berechnungen in der Astronomie auffrischen. Wenn es möglich ist werde ich dies mit Applets unterstützen.
Die einzelnen Berechnungen beziehe ich hier auf meine drei Teleskope: Bresse Pluto/S 114/500; Vixen 114/900; GSO 150/750.
Die sinnvollen Vergrößerungen eines Telekopes
Das Auflösungsvermögen optischer Systeme
Das Lichtsammelvermögen eines Teleskops
Das Öffnungsverhältnis gibt das Verhältnis von Öffnung zu Brennweite eines Teleskopes an. Je kleiner dieses Verhältnis ist, desto Lichtstärker ist ein Teleskop. Das Öffnungsverhältnis kann leicht über den Sachverhalt:
Öffnung (Teleskop) : Brennweite (Teleskop) = Öffnungsverhältnis
berechnet werden. Die untenstehende Tabelle zeigt für meine drei Teleskope das Öffnungsverhältnis.
| Öffnung | Brennweite | Öffnungsverhältnis |
|---|---|---|
| 114 | 500 | 1:4.4 |
| 114 | 900 | 1:7.9 |
| 150 | 750 | 1:5 |
Das Öffnungsverhältnis spielt in der visuellen Astronomie eine recht kleine Rolle. Ich benutze es eigentlich nur um festzustellen ob das Gerät seine stärken im DeepSky-,RichField- oder Planetenbereich hat. In der Fotografischen Astronomie hingegen braucht man es um die Belichtungszeiten festzulegen. Je kleiner hier das Verhältnis ist, desto kürzer muß man Belichten.
Die Austrittspupille wird definiert als ein Lichtkegel der endseitig aus dem Okular austritt. Durch ein kleines Experiment läßt sich die Austrittspupille sichtbar machen. Hält man das Teleskop gegen ein helles Licht (Nicht die Sonne!) und bringt ein weißes Stück Papier hinter dem Okular an, dann kann man den austretenden Lichtkegel als Projektion auf dem Papier sehen. Berechnet wird die Austrittspupille durch:
Austrittspupille = Öffnung : Vergrößerung
Die unten stehende Tabelle zeigt die Austrittspupille für meine Teleskope und einige Vergrößerungen die ich mit meinen Okularen erreiche.
| Gerät | Öffnung | Vergrößerung | Austrittspupille |
|---|---|---|---|
| Pluto/S 114/500 | 114 | 25x (mit 20mm Okular) | 4.56 |
| 114 | 40x (mit 12.5mm Okular) | 2.85 | |
| 114 | 83x (mit 20mm Okular) | 1.37 | |
| GSO 150/750 | 150 | 25x (angenommen) | 6 |
| 150 | 40x (angenommen) | 3.75 | |
| 150 | 83x (angenommen) | 1.8 |
Da die Austrittspupille nur von der Vergrößerung und der Öffnung abhängt, habe ich den Vixen hier weggelassen, da er bei gleicher Vergrößerung, die gleichen Ergebnisse wie der Pluto/S liefern würde. Für den GSO habe ich nun mal die gleichen Vergrößerungen wie für den Pluto genommen und man kann gleich sehen, das die Austrittspupille mit steigender Öffnung zunimmt. D.h. wiederrum ich bekomme bei gleicher Vergrößerung mehr Licht in das Auge und damit auch mehr Kontrast und Detailgenauigkeit.
Die Austrittspupille kann nun auch für die sinnvolle maximale und minimale Vergrößerung eines Teleskopes herangezogen werden. Dies möchte ich im nächsten Schritt näher verdeutlichen.
Die sinnvolen Vergrößerungen seines Telekopes zu wissen ist eine nicht ganz unwichtige Sache. Denn jedesmal wenn ein Okular oder eine Barlow-Linse angeschafft werden sollte, stellt sich die Frage: Welche Brennweite ist denn am effektivsten für mein Teleskop? Hierbei hilft aber wieder eine einfache Formel:
Brennweite (Okular) = Brennweite (Teleskop) : Vergrößerung
Um nun aber nicht ein Okular zu kaufen, welches garnicht mehr sinnvoll mein Teleskop ausnutzt, gilt es vor der festlegung der Brennweite des Okular, die sinnvolle maximale und Minimale Vergrößerung des Teleskopes zu kennen. Hierbei spielt die maximale und minimale Austrittspupille des Beobachters eine Rolle. Da diese von Mensch zu Mensch verscheiden ist, habe ich hier mal eine Tabelle verwendet aus dem Buch "Tipps und Tricks für Sternenfreunde" aus dem Verlag Sterne und Weltraum.
| Alter | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Durchmesser Tag [mm] | 4.7 | 4.3 | 3.9 | 3.5 | 3.1 | 2.7 |
| Durchmesser Nacht [mm] | 8.0 | 7.0 | 6.0 | 5.0 | 4.1 | 3.0 |
Man sieht also schnell das mit zunehmenden Alter die Austrittspupille abnimmt. Die Tabelle zeigt aber nur statistische Werte. Diese können natürlich von der Wirklichkeit abweichen.
Um nun die Vergrößerung und damit dann die Brennweite des Okulares auszurechnen, bedient man sich folgender Formel:
Vergrößerung = Öffnung : maximale Austrittspupille
Für die nachfolgende Tabelle nehme ich eine maximale Austrittspupille von 7 mm an. Dies entspricht dem größten Durchschnitt der Hobbyastronomen und hat sich als Richtwert bewährt.
| Öffnung | Maximale Austrittspupille | Vergrößerung | Brennweite (Teleskop) | Brennweite (Okular) |
|---|---|---|---|---|
| 114 mm | 7 mm | 16.29 fach | 900 mm | 55 mm |
| 114 mm | 7 mm | 16.29 fach | 500 mm | 30 mm |
| 150 mm | 7 mm | 21.43 fach | 750 mm | 35 mm |
Somit ist ein Okular für die minimale Vergrößerung gefunden. Wobei dies theoretischen Werten entspricht. Es wird wohl kaum ein brauchbares Okular mit 55mm Brennweite für ein 1 1/4" Okularauszug geben.
Um nun die Maximale Vergrößerung rauszubekommen, geht man genauso vor, nur das sich die Austrittspupille ändert. Hier wird normalerweise ein Wert von 0.5-1mm für die visuelle Astronomie angenommen. In der unten stehenden Tabelle wurde nun leicht anders vorgegangen. Hier wurde nach der Faustformel:
Maximale Vergrößerung = 2 * Öffnung (Teleskop)
verfahren und damit wurde die minimale Austrittspupille errechnet.
| Öffnung | minimale Austrittspupille | Vergrößerung | Brennweite (Teleskop) | Brennweite (Okular) |
|---|---|---|---|---|
| 114 mm | 0.5 mm | 228 fach | 900 mm | 4 mm |
| 114 mm | 0.5 mm | 228 fach | 500 mm | 2.2 mm |
| 150 mm | 0.5 mm | 300 fach | 750 mm | 2.5 mm |
Man sieht gleich das dies bereits starke Grenzwerte darstellt. Ich würde doch empfehlen mit einer Austrittspupille von 1mm zu rechnen und alles was darunter liegt auszuprobieren.
Manchmal möchte eine Hobbyastronom wissen, wie hoch das Auflösungsvermögen seines Teleskopes ist. Sei es nun um sich geeignete enge Doppelsterne zu suchen und die Optik daran zu testen oder rein aus Neugierde. Nun ist dies aber nicht mehr ganz so leicht zu ermitteln. Wie die folgende Formel zeigt, ist das Auflösungsvermögen (Trennschärfe) eines Teleskop von der Eintrittspupille (der Öffnung) des Teleskopes und der Lichtwellenlänge abhängig.
a = (l /D) * 206265" = 360°/2p = 57,3°
Nun ist die Öffnung eines Teleskopes noch relativ leicht zu bestimmen, denn überschlägig ist Sie ja entweder auf dem Tubus angegeben oder man kennt sie so, da es ja Standardöffnungen (4,5"; 6"; 8" etc.) gibt. Doch was ist mit der Wellenlänge des Lichtes? Unten sehen Sie eine Tabelle mit einigen Wellenlängen von drei Farbspektren des Lichtes. Im folgenden werden die Formeln mit der Wellenlänge des Grünen-Lichtes berechnet.
| Farbe | Rot | Grün | Blau |
|---|---|---|---|
| l [mm] | 0.000656 | 0.000555 | 0.0004 |
| l [nm] | 656 | 555 | 400 |
Mit der Wert für l und den Öffnungen meiner Teleskope liese sich nun die theoretische Auflösung berechnen.
| Teleskop | Öffnung | l | a |
|---|---|---|---|
| Pluto bzw. Vixen | 114 mm | 0.000555 | 1" |
| GSO-Newton | 150 | 0.000555 | .076" |
Dies sind natürlich rein theoretische Werte und gelten nur für eine perfekte, fehlerfrei Optik unter Labobedingungen. Praktische Beobachtungen haben ergeben, das man mit einem Faktor von 1.22 multiplizieren muß um auch realistische Werte zu erhalten. Dies würde dann also bei meinen Teleskopen folgende Werte ergeben.
| Teleskop | Öffnung | Faktor | Auflösungsvermögen |
|---|---|---|---|
| Pluto bzw. Vixen | 114 mm | 1.22 | 1.22" |
| GSO-Newton | 150 | 1.22 | 0.93" |
Selbst diese Werte sind noch mit Vorsciht zu genießen und geben auch hier nur Minimalwerte an, die eine sehr, sehr gute Optik unter sehr, serh gutem Himmel liefern könnte.
Eine Formel habe ich noch gefunden, mit der doch sehr schnell das Auflösungsvermögen berechnet werden kann. Dies ist eine Faustformel und nähert sehr gut die Werte der oben stehenden Tabelle an.
a = 13.8"/(D [cm])
Hierbei erhalte ich für den Pluto ein a von 1.21" und für den GSO-Newton ein a von 0.92"
Mit der Formel folgenden Formel kann das Lichtsammelvermögen eines Teleskopes gegenüber dem des Auges berechnet werden.
DFaktor = D²(Teleskop) / D²(AGP)
Um den DFaktor nun in die Einheit [mag] umzurechen, benutzt man die folgende Formel
D = 2.5 mag * lg (D²(Teleskop) / D²(AGP))
Und hier wieder die Tabelle meiner Teleskope. Zum besseren Verständnis der Tabelle: Wenn man unter günstigen Bedingungen Sterne der 6. Größenklasse sehen kann, bei einer AGP von 6mm, dann bringt ein 100-Millimeter-Instrument einen Gewinn von 6.1 mag. D.h. die Grenzgröße wäre 12.1 mag.
Die Tabelle ist für einen 6 mag Himmel mit einer AGP von 6mm berechnet worden.
| Teleskop | Durchmesser Objektiv | Durchmesser Auge | DFaktor | Lichtsammelvermögen in [mag] (gegenüber dem Auge) | Lichtsammelvermögen in [mag] (gesamt) |
|---|---|---|---|---|---|
| Pluto bzw. Vixen | 114 mm | 6 mm | 361 | 6.4 mag | 12.4 mag |
| GSO-Newton | 150 | 6 mm | 625 | 7 mag | 13 mag |
Wie man oben aus dem Beispiel ersehen kann ist die von der jeweiligen Austrittspupille abhängig und mit welcher Grenzgröße man noch Sterne mit dem bloßem Auge sieht. Wenn man aber ungefähr weiß, was der Hauptbeobachtungsstandort (bei mir ca: 5.5 mag) zeigt, dann kann man schon überschlägig sagen wo die Grenzgröße für das Teleskop liegt.